Soit \(X\) l’espace des suites réelles nulles à partir d’un certain rang, et soit \[\rho (x,y) =\sum _{k=1}^\infty 2^{-k} \frac{|x_k-y_k|}{1+|x_k-y_k|}\quad \text{pour} \; x,y\in X\; .\]
1
Montrer que \(X\) n’est pas complet pour la métrique \(\rho\).
2
Trouver un espace de suites \(Y\) tel que \((Y, \rho )\) soit complet et tel que \(X\) soit dense dans \(Y\).
3
Que donne l’exercice si on remplace \(\rho\) par la norme uniforme?