Notons $x^p$ la suite $x^p = (1,1,\ldots,1,1,0,0,0,\ldots).$ (des $0$ à partir de la $p+1$ -ième place et de $1$ avant. Si $Y$ est l’espace de toute les suite, notons $x^\infty = (1,1,1,1,\ldots).$ La suite $x^\infty$ n’est pas dans $X$ . Par contre $x^p \rightarrow x^\infty$ pour la distance $\rho$ . En effet $\rho(x^p,x) = \sum_{k=p+1}^{+\infty} \frac{1}{2^k} \frac12 = \frac 1 {2^{p+1}} \rightarrow 0.$ La suite $(x^p)$ est de Cauchy, mais ne converge pas dans $X$ , donc $X$ n’est pas complet. Soit $Y$ l’espace de toutes les suites. Alors $X$ est dense dans dans $Y$ (pour la topologie définie par $\rho$ ), car toute suite $y = (y_1,y_2,\ldots)$ de $Y$ s’approche par une suite de suite $(x^p)$ obtenue en tronquant la suite $y$ : $x^1 = (y(1),0,0,\ldots)$ , $x^2 = (y(1),y(2),0,0,\ldots)$ ,... En effet $\rho(x^p,y)= \sum _{k=p+1}^\infty 2^{-k} \frac{|x_k-y_k|}{1+|x_k-y_k|} \le \sum _{k=p+1}^\infty 2^{-k} = \frac{1}{2^p}$ qui tend vers $0$ lorsque $p$ tend vers $+\infty$ . Soit $(x^n)_n$ une suite de Cauchy de $Y$ . Montrons que pour $k$ fixé alors $(x^n_k)_n$ est une suite de Cauchy de $\Rr$ . Prenons $\epsilon >0$ , alors il existe $N$ tel que pour $p,q\ge N$ on ait $\rho(x^p,x^q) \le \epsilon$ . $\frac {1}{2^k}\frac{|x^p_k-x^q_k|}{1+|x^p_k-x^q_k|} \le \rho(x^p,x^q) \le \epsilon.$ Posons la fonction $f(\alpha)=\frac{\alpha}{1+\alpha}$ , $f$ est inversible pour $\alpha\ge 0$ , d’inverse $f^{-1}(\beta)= \frac{\beta}{1-\beta}$ . Une étude de $f$ et de son inverse montre que si $f(\alpha)\le \epsilon'\le 1$ alors $\alpha \le 2\epsilon'$ . Comme $k$ est fixé, posons $\epsilon = \frac{\epsilon'}{2^k}$ et $\alpha =|x^p_k-x^q_k|$ on a montrer : $f(\alpha) \le \epsilon'$ . Donc $\alpha \le 2\epsilon'$ . Récapitulons : $\forall \epsilon' >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p,q \ge N \quad |x^p_k-x^q_k| < 2\epsilon',$ donc la suite $(x^n_k)_n$ est de Cauchy dans $\Rr$ , donc converge, nous notons $x^\infty_k$ sa limite. Nous avons construit une suite $x^\infty=(x^\infty_1,x^\infty_2,\ldots)$ . Comme $(x^n)$ est de Cauchy alors $\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p,q \ge N \quad \rho(x^p,x^q) < \epsilon,$ Lorsque l’on fixe $p$ et que l’on fait tendre $q$ vers $+\infty$ on a $\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p \ge N \quad \rho(x^p,x^\infty) < \epsilon,$ donc $(x^n)$ converge vers $x^\infty$ pour la distance $\rho$ . Bien évidemment $x^\infty \in Y$ donc $(x^n)$ converge vers $x^\infty \in Y$ pour $\rho$ . Donc $(Y,\rho)$ est un espace complet.

exo7 2399