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Montrer que pour tout $x\in X$, la suite de réels $(d(a_n,x))$ a une limite. On note $f(x)$ cette limite; montrer que l’application $x\to f(x)$ est continue de $X$ dans $\Rr$.

Calculer $\inf_{x\in X} f(x)$. Quand cette borne inférieure est-elle atteinte?

Déduire de ce qui précède que si $X$ n’est pas complet, il existe une application $\phi:X\to\Rr$ continue et non bornée.