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La suite $(x_n)$ est bornée même si la métrique est non bornée, mais il existe des suites bornées dont aucune sous-suite n’est de Cauchy.

Si $(x_n)$ contient une sous-suite convergente, elle est convergente.

Soit $(\epsilon_k)$ une suite quelconque de réels $>0$; il existe une sous-suite $(x_{n_k})$ de $(x_n)$ telle que $d(x_{n_k},x_{n_{k+1}})\leq \epsilon_k.$

Soit $(y_n)$ une suite quelconque de $X$. Si $\sum_1^\infty d(y_n,y_{n+1})<\infty$, la suite $(y_n)$ est de Cauchy. Réciproque ?

On suppose cette fois la distance $d$ ultramétrique. Dans ce cas $(y_n)$ est de Cauchy si et seulement si $d(y_n,y_{n+1})$ tend vers $0$.