Soit \((X,d)\) un espace métrique, et \((x_n)\) une suite de Cauchy dans \(X\). Vérifier :
1
La suite \((x_n)\) est bornée même si la métrique est non bornée, mais il existe des suites bornées dont aucune sous-suite n’est de Cauchy.
2
Si \((x_n)\) contient une sous-suite convergente, elle est convergente.
3
Soit \((\epsilon_k)\) une suite quelconque de réels \(>0\); il existe une sous-suite \((x_{n_k})\) de \((x_n)\) telle que \(d(x_{n_k},x_{n_{k+1}})\leq \epsilon_k.\)
4
Soit \((y_n)\) une suite quelconque de \(X\). Si \(\sum_1^\infty d(y_n,y_{n+1})<\infty\), la suite \((y_n)\) est de Cauchy. Réciproque ?
5
On suppose cette fois la distance \(d\) ultramétrique. Dans ce cas \((y_n)\) est de Cauchy si et seulement si \(d(y_n,y_{n+1})\) tend vers \(0\).