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Soit \(U\) un ouvert d’un espace complet \((X,d)\); on note \(F=U^c\) et \(f(x,y)=\vert{1\over{d(x,F)}}-{1\over{d(y,F)}}\vert\) pour \(x,y \in U\).
Montrer que \(\delta(x,y)=\max(d(x,y),f(x,y))\) définit une distance sur \(U\) équivalente (topologiquement) à \(d\) et que \((U,\delta)\) est complet.