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Pour $n,m\in \Nn^*$, on pose $d(n,m)=|{1\over n}-{1\over m}|$. Montrer que $d$ est une distance sur $\Nn^*$ qui induit la topologie discrète sur $\Nn^*$; est-elle complète ?

Montrer que $\overline{\Rr}$ est un espace métrique complet pour la distance $d(x,y)=\vert \arctan x-\arctan y\vert$.