$\Rightarrow$ Supposons que la distance $d$ soit complète. Soit $(y_n)$ une suite de $F$ qui converge vers $y\in \Rr^2$ . Il faut montrer que $y\in F$ . Il existe $x_n\in\Rr$ , tel que $y_n=f(x_n)$ . Comme $(y_n)$ est une suite convergente, c’est une suite de Cauchy de $\Rr^2$ , or $d(x_p,x_q) = \|f(x_p)-f(x_q)\| = \|y_p-y_q\|$ . Donc $(x_n)$ est une suite de Cauchy pour $d$ . Comme $d$ est complète alors $(x_n)$ converge $x$ , comme $x_n\rightarrow x$ (pour $d$ ) alors $f(x_n)\rightarrow f(x)$ (pour $\|.\|$ ). (Remarquons que par définition de $d$ , l’application $f:(\Rr,d)\longrightarrow (\Rr^2,\|.\|)$ est continue.) Donc $(y_n)$ converge vers $f(x)$ et par unicité de la limite $f(x)=y$ . Donc $y\in f(\Rr)=F$ . Donc $F$ est fermé. $\Leftarrow$ On suppose que $F$ est fermé. Soit $(u_n)$ une suite de Cauchy pour $(\Rr,d)$ . Notons $y_n=f(x_n)$ . Comme $d(u_p,u_q) = \|f(u_p)-f(u_q)\| = \|y_p-y_q\|$ . Donc $(y_n)$ est une suite de Cauchy pour $(\Rr^2,\|.\|)$ . Comme cet espace est complet alors $(y_n)$ converge vers $y$ . Comme $y_n\in F$ et $F$ est fermé alors $y\in F$ , donc il existe $x\in \Rr$ tel que $y=f(x)$ . Il reste à montrer que $(x_n)$ tend vers $x$ . En effet $d(x_n,x)=\|f(x_n)-f(x)\|=\|y_n-y\|$ tend vers $0$ . Donc $(x_n)$ tend vers $x$ pour $d$ . Donc $d$ est complète.

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