L3 Topologie Espace métrique complet, espace de Banach 2 questions

exo7 6819

Soit (E,∥⋅∥)(E, \|\cdot\|) un espace vectoriel normé. Le but de cet exercice est de montrer que EE est complet si et seulement si toute série absolument convergente converge.

1

Soit EE complet et (an)n∈N(a_n)_{n\in \Nn} une suite dans EE telle que ∑n=0∞∥an∥\sum_{n=0}^\infty \|a_n\| converge. Démontrer que la suite sN=∑n=0Nans_N = \sum_{n=0}^N a_n est une suite de Cauchy ; en déduire que ∑n=0∞an\sum_{n=0}^\infty a_n converge.

2

On suppose que toute série absolument convergente converge, c’est-à-dire si ∑n=0∞∥bn∥\sum_{n=0}^\infty \|b_n\| converge, alors ∑n=0∞bn\sum_{n=0}^\infty b_n converge. Soit (an)n∈N(a_n)_{n\in \Nn} une suite de Cauchy dans EE. Trouver une suite strictement croissante i↦ni∈Ni\mapsto n_i \in \Nn telle que ∀i:∥ani+1−ani∥<2−i\forall i : \|a_{n_{i+1}} - a_{n_i}\| < 2^{-i}. En déduire que ∑i=0∞(ani+1−ani)\sum_{i=0}^\infty (a_{n_{i+1}} - a_{n_i}) converge. Déduire de ce résultat que EE est complet.

Exercice ttWo

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