Soit \((E, \|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé. Le but de cet exercice est de montrer que \(E\) est complet si et seulement si toute série absolument convergente converge.
Soit \(E\) complet et \((a_n)_{n\in \Nn}\) une suite dans \(E\) telle que \(\sum_{n=0}^\infty \|a_n\|\) converge. Démontrer que la suite \(s_N = \sum_{n=0}^N a_n\) est une suite de Cauchy ; en déduire que \(\sum_{n=0}^\infty a_n\) converge.
On suppose que toute série absolument convergente converge, c’est-à-dire si \(\sum_{n=0}^\infty \|b_n\|\) converge, alors \(\sum_{n=0}^\infty b_n\) converge. Soit \((a_n)_{n\in \Nn}\) une suite de Cauchy dans \(E\). Trouver une suite strictement croissante \(i\mapsto n_i \in \Nn\) telle que \(\forall i : \|a_{n_{i+1}} - a_{n_i}\| < 2^{-i}\). En déduire que \(\sum_{i=0}^\infty (a_{n_{i+1}} - a_{n_i})\) converge. Déduire de ce résultat que \(E\) est complet.