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Soit $(B,\Vert.\Vert)$ un espace de Banach et $M$ , $N$ deux sous-espaces de $B$ tels que $B=M\oplus N$ . On met sur $B$ une nouvelle norme $\Vert z\Vert'=\Vert x\Vert+\Vert y\Vert$ si $z=x+y$ .

Vérifier que $\Vert.\Vert'$ est bien une norme sur $B$ et que $(B,\Vert.\Vert')$ est complet si et seulement si $M$ et $N$ sont fermés.

Montrer que si les projections $P_M$ et $P_N$ sur $M$ et $N$ sont continues, $(B,\Vert.\Vert')$ est encore un Banach.