Soit \((B,\Vert.\Vert)\) un espace de Banach et \(M\), \(N\) deux sous-espaces de \(B\) tels que \(B=M\oplus N\). On met sur \(B\) une nouvelle norme \(\Vert z\Vert'=\Vert x\Vert+\Vert y\Vert\) si \(z=x+y\).
1
Vérifier que \(\Vert.\Vert'\) est bien une norme sur \(B\) et que \((B,\Vert.\Vert')\) est complet si et seulement si \(M\) et \(N\) sont fermés.
2
Montrer que si les projections \(P_M\) et \(P_N\) sur \(M\) et \(N\) sont continues, \((B,\Vert.\Vert')\) est encore un Banach.