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Sur l’ensemble $\Nn$ des entiers naturels, définissons $\begin{aligned} d(n,m)&=& 0 \ \ {\rm pour}\ m=n\\ &=& 1+{1\over{n+m}}\ \ {\rm pour}\ m\neq n \end{aligned}$

Montrer que $d$ est une métrique sur $\Nn$ pour laquelle il est complet.

Construire dans $({\Nn},d)$ une suite de boules fermées non vides emboı̂ tées dont les rayons ne tendent pas vers $0$ , et d’intersection vide.