Soit \((X,d)\) un espace métrique et soit \(a:\Nn \to X\) une suite dans \(X\).
1
Quand est-ce que \(a\) est une suite de Cauchy, une suite convergente ?
2
Donner les définitions d’un point d’accumulation de la suite \(a\), et de “\((X,d)\) est complet”.
3
Enoncer le théorème de Bolzano-Weierstrass.
4
Montrer que si \(a\) est de Cauchy et si \(x\) est un point d’accumulation de \(a\), alors \(a\) converge vers \(x\).
5
Montrer que si \(X\) est compact, alors \(X\) est complet.