Soit \((X,d)\) un espace métrique et \(Y\) une partie de \(X\); on considère \(f\) une application surjective de \(X\) sur \(Y\), et on pose pour \(u\) et \(v\) dans \(Y\) \[D(u,v)=d(f^{-1}(\{u\}),f^{-1}(\{v\}))=\inf_{x\in f^{-1}(\{u\}),y\in f^{-1}(\{v\})} d(x,y).\]
Montrer que pour \(u\) et \(v\) dans \(Y\), \(D(u,v)\geq0\); que \(D(u,u)=0\) et \(D(u,v)=D(v,u)\); \(D\) vérifie-t-elle l’inégalité triangulaire ?
On suppose que pour \(u\) dans \(Y\), \(f^{-1}(\{u\})\) est un fermé de \(Y\), et que pour \(u\) et \(v\) dans \(Y\) \[d(x,f^{-1}(\{v\}))=d(x',f^{-1}(\{v\}))\] pour tous \(x\) et \(x'\) dans \(f^{-1}(\{u\})\). Montrer alors que \(D\) est une distance.
On suppose les conditions de 2. vérifiées. Montrer que \(Y\) est complet si \(X\) est complet.