L3 Topologie Espace métrique complet, espace de Banach 3 questions

exo7 6224

Soit (X,d)(X,d) un espace métrique et YY une partie de XX; on considère ff une application surjective de XX sur YY, et on pose pour uu et vv dans YY D(u,v)=d(f−1({u}),f−1({v}))=inf⁡x∈f−1({u}),y∈f−1({v})d(x,y).D(u,v)=d(f^{-1}(\{u\}),f^{-1}(\{v\}))=\inf_{x\in f^{-1}(\{u\}),y\in f^{-1}(\{v\})} d(x,y).

1

Montrer que pour uu et vv dans YY, D(u,v)≥0D(u,v)\geq0; que D(u,u)=0D(u,u)=0 et D(u,v)=D(v,u)D(u,v)=D(v,u); DD vérifie-t-elle l’inégalité triangulaire ?

2

On suppose que pour uu dans YY, f−1({u})f^{-1}(\{u\}) est un fermé de YY, et que pour uu et vv dans YY d(x,f−1({v}))=d(x′,f−1({v}))d(x,f^{-1}(\{v\}))=d(x',f^{-1}(\{v\})) pour tous xx et x′x' dans f−1({u})f^{-1}(\{u\}). Montrer alors que DD est une distance.

3

On suppose les conditions de 2. vérifiées. Montrer que YY est complet si XX est complet.

Exercice lpOP

Signaler une erreur

  1. Problème
  2. Précisions
  3. Envoi
Quel est le problème ?