1
Pour \(x,y\in\Rr^*\) on pose \(d(x,y)=|x-y|+|{1\over x}-{1\over y}|\).
Montrer que \(d\) définit une distance sur \(\Rr^*\) qui induit la topologie usuelle et que \(({\Rr^*},d)\) est complet.
2
Plus généralement soit \(U\) un ouvert d’un espace complet \((X,d)\); comment peut-on définir une métrique \(\delta\) sur \(U\), équivalente à la métrique initiale, qui fasse de \(U\) un espace complet ?