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Pour $x,y\in\Rr^*$ on pose $d(x,y)=|x-y|+|{1\over x}-{1\over y}|$.

Montrer que $d$ définit une distance sur $\Rr^*$ qui induit la topologie usuelle et que $({\Rr^*},d)$ est complet.

Plus généralement soit $U$ un ouvert d’un espace complet $(X,d)$; comment peut-on définir une métrique $\delta$ sur $U$, équivalente à la métrique initiale, qui fasse de $U$ un espace complet ?