1
Soit \(f\) un homéomorphisme d’espaces métriques \(f:X\to Y\); montrer que \(X\) peut être complet sans que \(Y\) le soit.
2
On suppose de plus que \(f\) est uniformément continue. Montrer que si \(Y\) est complet, \(X\) l’est aussi.
3
On considère \(E=\{f\in C^1([0,1])\ ;\ f(0)=0\}\), muni de la métrique \(d(f,g)=\inf(1,\sup|f'(t)-g'(t)|)\). Montrer que \(E\) est complet pour cette métrique.