Soit $(f_n)$ une suite de Cauchy pour la norme $N$ . Pour chaque $t\in[a,b]$ , $(f_n(t))_n$ est une suite de Cauchy de $\Rr$ donc converge. Notons $f(t)$ sa limite. De même $(f_n'(t))_n$ est une suite de Cauchy de $\Rr$ donc converge vers $g(t)$ . Nous allons montrer que $f$ est dans $X$ et que $f_n$ converge vers $f$ pour $N$ et que $f'=g$ . Soit $\epsilon > 0$ . Il existe $n\in \Nn$ tel que Pour tout $p\ge 0$ , $N(f_{n}-f_{n+p}) < \epsilon.$ En faisant tendre $p$ vers $+\infty$ , $f_{n+p}$ converge (simplement) vers $f$ . On obtient que $\|f_n-f\|_\infty$ et que $\|f_n'-g\|_\infty$ tendent vers $0$ . Donc $f_n$ converge uniformément vers $f$ . Comme les $f_n$ sont continues alors $f$ est continue. De même $f_n'$ converge uniformément vers $g$ donc $g$ est continue. De plus cela implique que $g=f'$ .(Rappel : si $(f_n)$ est une suite de fonctions $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$ qui converge simplement vers $f$ , et tel que $(f_n')$ converge uniformément vers $g$ , alors $f$ est $\mathcal{C}^1$ et sa dérivée est $f'=g$ .) Nous avons donc montrer que $N(f_n-f)$ tend vers $0$ et que $f$ est dans $X$ . Donc $(X,N)$ est complet.

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