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Montrer que $H$ contient les fonctions de classe $C^1$ sur $[0,1]$, mais que la fonction $\sqrt x$ n’est pas dans $H$.

Montrer que pour tout $k$, $H_k$ est un espace de Banach pour la norme uniforme.

Montrer qu’il existe une suite de fonction de $H$ qui converge uniformément sur $[0,1]$ vers $\sqrt x$. En déduire que $H$ n’est pas complet pour la norme uniforme.

Montrer que si on pose $$\Vert f\Vert=\sup_{x\neq y}{{\vert f(x)-f(y)\vert}\over{\vert x-y\vert}} +\vert f(0)\vert,$$ on définit ainsi une norme sur l’espace $E$, pour laquelle l’espace est complet.