Pour tout \(k>0\) on note \(H_k\) le sous-espace de \(C([0,1])\) constitué des fonctions lipschitziennes de constante \(k\) ie des fonctions \(f\) vérifiant \(\vert f(x)-f(y)\vert\leq k\vert x-y\vert\) pour tous \(x\) et \(y\) dans \([0,1]\). On pose aussi \(H=\bigcup_{k>0}H_k\).
Montrer que \(H\) contient les fonctions de classe \(C^1\) sur \([0,1]\), mais que la fonction \(\sqrt x\) n’est pas dans \(H\).
Montrer que pour tout \(k\), \(H_k\) est un espace de Banach pour la norme uniforme.
Montrer qu’il existe une suite de fonction de \(H\) qui converge uniformément sur \([0,1]\) vers \(\sqrt x\). En déduire que \(H\) n’est pas complet pour la norme uniforme.
Montrer que si on pose \[\Vert f\Vert=\sup_{x\neq y}{{\vert f(x)-f(y)\vert}\over{\vert x-y\vert}} +\vert f(0)\vert,\] on définit ainsi une norme sur l’espace \(E\), pour laquelle l’espace est complet.