Soit \(E\) un espace de Banach, \(A\in{\cal L}(E)\), et \(s,t\in\Rr\).
1
On rappelle que \(e^{tA}=\sum_0^\infty {{t^nA^n}\over{n!}}\in{\cal L}(E)\). Montrer que \(\Vert e^{tA}\Vert\leq e^{\vert t\vert\Vert A\Vert}\) et que \(e^{(t+s)A}=e^{tA} e^{sA}\).
2
Soit \(u_0\in E\) et \(u\) la fonction vectorielle de variable réelle définie par \(u(t)=e^{tA}u_0\). Montrer que \(u\) est dérivable sur \(\Rr\) et calculer sa dérivée.