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On rappelle que $e^{tA}=\sum_0^\infty {{t^nA^n}\over{n!}}\in{\cal L}(E)$. Montrer que $\Vert e^{tA}\Vert\leq e^{\vert t\vert\Vert A\Vert}$ et que $e^{(t+s)A}=e^{tA} e^{sA}$.

Soit $u_0\in E$ et $u$ la fonction vectorielle de variable réelle définie par $u(t)=e^{tA}u_0$. Montrer que $u$ est dérivable sur $\Rr$ et calculer sa dérivée.