L3 Topologie Espace métrique complet, espace de Banach 2 questions

exo7 6231

Soit EE un espace de Banach et FF un sous-espace fermé de EE.

1

Montrer que N(xˉ)=inf⁡y∈F∥x+y∥=d(x,F)N(\bar x)=\inf_{y\in F} \Vert x+y\Vert=d(x,F) définit une norme sur l’espace vectoriel quotient E/FE/F.

2

Montrer à l’aide du critère sur les séries que E/FE/F muni de NN est un espace de Banach.

Exercice I5Tc

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