On considère \(E\) l’espace des séries convergentes, et on pose \[\Vert\xi\Vert=\sup_n\vert\sum_{k=1}^n\xi_k\vert\]
1
Vérifier que ceci définit une norme sur \(E\) pour laquelle il est complet.
2
L’espace \(l^1\) des séries absolument convergentes est un sous-espace de \(E\); montrer que les normes \(\Vert.\Vert\) et \(\Vert.\Vert_1\) ne sont pas équivalentes sur \(l^1\) (en considérant une série de terme général \(\xi_k={{(-1)^k}\over {k^\alpha}}\).)
3
Montrer que \(l^1\) est dense dans \((E,\Vert.\Vert)\).