Trouvons d’abord le candidat à la limite. Par définition d’une suite de Cauchy, nous avons : \[\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p,q \ge N \quad \| f_p-f_q\| <\epsilon.\] Fixons \(x\in E\), alors \[\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p,q \ge N \quad \| f_p(x)-f_q(x)\|_F <\epsilon \|x\|_E.\] Quitte à poser \(\epsilon = \frac{\epsilon'}{\|x\|}\) (\(x\) est fixé !, si \(x=0\) c’est trivial) alors on a montrer : \[\forall \epsilon' >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p,q \ge N \quad \| f_p(x)-f_q(x)\|_F <\epsilon'.\] Donc la suite \((f_n(x))_n\) est une suite de Cauchy de \(F\). Comme \(F\) est complet alors cette suite converge, notons \(f(x)\) sa limite. Nous avons construit une fonction \(f :E\longrightarrow F\). Montrons que \(f\) est dans l’espace \({\cal L}(E,F)\), c’est-à-dire que \(f\) est linéaire. Comme pour tout \(n\), \(f_n\) est linéaire alors, pour tout \(x,y\in E\), \(\lambda,\mu\in \Rr\) on a \[f_n(\lambda x +\mu y) = \lambda f_n(x) + \mu f_n (y).\] À la limite (\(n\rightarrow +\infty\)) nous avons \[f(\lambda x +\mu y) = \lambda f(x) + \mu f (y),\] donc \(f\) est dans \({\cal L}(E,F)\). Il reste à montrer que \((f_n)\) converge bien vers \(f\) (ce qui à priori n’est pas évident). Revenons à la définition d’une suite de Cauchy (écrit d’une façon un peu différente) : \[\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p \ge N \quad \forall k \ge0\quad \| f_p-f_{p+k}\| <\epsilon.\] Lorsque l’on fixe \(p\) et que l’on fait tendre \(k\) vers \(+\infty\) alors \(f_p-f_{p+k}\) tend vers \(f_p-f\). Donc en passant à la limite nous avons : \[\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p \ge N \quad \| f_p-f\| <\epsilon.\] Donc \((f_n)\) converge vers \(f\) pour la norme \(\| . \|\) sur \({\cal L}(E,F)\).

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