Trouvons d’abord le candidat à la limite. Par définition d’une suite de Cauchy, nous avons : $\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p,q \ge N \quad \| f_p-f_q\| <\epsilon.$ Fixons $x\in E$ , alors $\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p,q \ge N \quad \| f_p(x)-f_q(x)\|_F <\epsilon \|x\|_E.$ Quitte à poser $\epsilon = \frac{\epsilon'}{\|x\|}$ ( $x$ est fixé !, si $x=0$ c’est trivial) alors on a montrer : $\forall \epsilon' >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p,q \ge N \quad \| f_p(x)-f_q(x)\|_F <\epsilon'.$ Donc la suite $(f_n(x))_n$ est une suite de Cauchy de $F$ . Comme $F$ est complet alors cette suite converge, notons $f(x)$ sa limite. Nous avons construit une fonction $f :E\longrightarrow F$ . Montrons que $f$ est dans l’espace ${\cal L}(E,F)$ , c’est-à-dire que $f$ est linéaire. Comme pour tout $n$ , $f_n$ est linéaire alors, pour tout $x,y\in E$ , $\lambda,\mu\in \Rr$ on a $f_n(\lambda x +\mu y) = \lambda f_n(x) + \mu f_n (y).$ À la limite ( $n\rightarrow +\infty$ ) nous avons $f(\lambda x +\mu y) = \lambda f(x) + \mu f (y),$ donc $f$ est dans ${\cal L}(E,F)$ . Il reste à montrer que $(f_n)$ converge bien vers $f$ (ce qui à priori n’est pas évident). Revenons à la définition d’une suite de Cauchy (écrit d’une façon un peu différente) : $\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p \ge N \quad \forall k \ge0\quad \| f_p-f_{p+k}\| <\epsilon.$ Lorsque l’on fixe $p$ et que l’on fait tendre $k$ vers $+\infty$ alors $f_p-f_{p+k}$ tend vers $f_p-f$ . Donc en passant à la limite nous avons : $\forall \epsilon >0 \quad \exists N \in \Nn \quad \forall p \ge N \quad \| f_p-f\| <\epsilon.$ Donc $(f_n)$ converge vers $f$ pour la norme $\| . \|$ sur ${\cal L}(E,F)$ .

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