Soit \(E\) un espace vectoriel normé. On dit qu’une série \(\sum u_k\) est normalement convergente si la série \(\sum \| u_k \|\) est convergente. On veut démontrer que \(E\) est complet si et seulement si toute série normalement convergente est convergente.
Soit \((x_n)\) une suite de Cauchy de \(E\); montrer qu’on peut en extraire une sous-suite \((x_{n_k})\) telle que la série de terme général \(u_k = x_{n_{k+1}} - x_{n_k}\) soit normalement convergente. En déduire que si toute série normalement convergente est convergente, alors \(E\) est complet.
Soit \(\sum u_k\) une série normalement convergente. On note \(S_n = \sum _{k=0}^nu_k\). Montrer que \(S_n\) est une suite de Cauchy. En déduire que si \(E\) est complet, alors toute série normalement convergente est convergente.