L3 Topologie Espace métrique complet, espace de Banach 2 questions

exo7 2400

Soit EE un espace vectoriel normé. On dit qu’une série ∑uk\sum u_k est normalement convergente si la série ∑∥uk∥\sum \| u_k \| est convergente. On veut démontrer que EE est complet si et seulement si toute série normalement convergente est convergente.

1

Soit (xn)(x_n) une suite de Cauchy de EE; montrer qu’on peut en extraire une sous-suite (xnk)(x_{n_k}) telle que la série de terme général uk=xnk+1−xnku_k = x_{n_{k+1}} - x_{n_k} soit normalement convergente. En déduire que si toute série normalement convergente est convergente, alors EE est complet.

2

Soit ∑uk\sum u_k une série normalement convergente. On note Sn=∑k=0nukS_n = \sum _{k=0}^nu_k. Montrer que SnS_n est une suite de Cauchy. En déduire que si EE est complet, alors toute série normalement convergente est convergente.

Exercice HMcb

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