Dans l’ensemble , il existe une notion de partie bornée : c’est une partie qui est incluse dans un segment du type , pour un certain . Cet exercice montre comment généraliser cette notion de partie bornée à un ensemble quelconque.
Soit un ensemble et une partie de . On dit que est une bornologie sur si les conditions suivantes sont vérifiées
Si et , alors .
Si et , alors .
Pour tout , on a .
Les éléments de sont dits -bornés, ou simplement bornés s’il n’y a pas d’ambiguïté sur la bornologie utilisée.
Dans la suite, on fixe un ensemble .
Montrer que est une bornologie de . On l’appelle la bornologie triviale (ou : grossière).
Montrer que l’ensemble des parties finies de est une bornologie de . On l’appelle la bornologie discrète.
Combien de bornologies différentes y a-t-il si est vide ? S’il contient (exactement) un élément ? Deux ? Trois ?
On suppose maintenant que . Soit l’ensemble des parties bornées au sens classique, autrement dit Montrer que est une bornologie. On l’appelle la bornologie usuelle sur , et lorsqu’on parle de bornés de , il est implicite qu’on se réfère à cette bornologie (et non aux deux premières par exemple).