Dans l’ensemble \(\R\), il existe une notion de partie bornée : c’est une partie qui est incluse dans un segment du type \([-M,M]\), pour un certain \(M\). Cet exercice montre comment généraliser cette notion de partie bornée à un ensemble quelconque.
Soit \(E\) un ensemble et \(\mathcal B\) une partie de \(\mathcal P(E)\). On dit que \(\mathcal B\) est une bornologie sur \(E\) si les conditions suivantes sont vérifiées
Si \(A\in \mathcal B\) et \(B\subseteq A\), alors \(B\in \mathcal B\).
Si \(A\in \mathcal B\) et \(B \in \mathcal B\), alors \(A\cup B\in \mathcal B\).
Pour tout \(x\in E\), on a \(\{x\} \in \mathcal B\).
Les éléments de \(\mathcal B\) sont dits \(\mathcal B\)-bornés, ou simplement bornés s’il n’y a pas d’ambiguïté sur la bornologie utilisée.
Dans la suite, on fixe un ensemble \(E\).
Montrer que \(\mathcal B_1=\{\emptyset, E\}\) est une bornologie de \(E\). On l’appelle la bornologie triviale (ou : grossière).
Montrer que l’ensemble \(\mathcal B_2\) des parties finies de \(E\) est une bornologie de \(E\). On l’appelle la bornologie discrète.
Combien de bornologies différentes y a-t-il si \(E\) est vide ? S’il contient (exactement) un élément ? Deux ? Trois ?
On suppose maintenant que \(E=\R\). Soit \(\mathcal B_3\) l’ensemble des parties \(A\subseteq \R\) bornées au sens classique, autrement dit \[A\in \mathcal B_3 \iff \exists M\in \R, \forall a\in A, |a|\leq M\] Montrer que \(\mathcal B_3\) est une bornologie. On l’appelle la bornologie usuelle sur \(\R\), et lorsqu’on parle de bornés de \(\R\), il est implicite qu’on se réfère à cette bornologie (et non aux deux premières par exemple).