Appliquer le théorème des accroissements finis ne va pas être suffisant. En effet, soit \(f(x) = e^x-1-x\). Alors il existe \(c \in ]0,x[\) tel que \(f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)\). Soit \(f(x)=(e^c-1)x\). Soit maintenant \(g(x) = e^x-1\) alors, par le théorème des accroissements finis sur \([0,c]\) il existe \(d \in ]0,c[\) tel que \(g(c)-g(0)=g'(d)(c-0)\), soit \(e^c-1=e^dc\). Donc \(e^x-1-x = f(x) = (e^c-1)x = e^dcx\). Comme \(d \leq c \leq x\), alors \(e^x-1-x \leq e^xx^2\).

Cela donne une inégalité, mais il manque un facteur \(1/2\). Nous allons obtenir l’inégalité par application du théorème de Rolle. Soit maintenant \(f(t) = e^t-1-t-k\frac{t^2}{2}\). Nous avons \(f(0)=0\), \(x>0\) étant fixé, nous choisisons \(k\) tel que \(f(x)=0\), (un tel \(k\) existe car \(e^x-1-x >0\) et \(x^2>0\)). Comme \(f(0)=0=f(x)\) alors par Rolle il existe \(c \in ]0,x[\) tel que \(f'(c)=0\). Mais \(f'(t) = e^t-t-kt\), donc \(f'(0)=0\). Maintenant \(f'(0)=0=f'(c)\) donc il existe (par Rolle toujours !) \(d \in ]0,c[\) tel que \(f''(d)=0\). Or \(f''(t) = e^t-k\), donc \(f''(d)=0\) donne \(k = e^d\). Ainsi \(f(x)=0\) devient \(e^x-1-x = e^d \frac{x^2}{2}\). Comme \(d\leq x\) alors \(e^x-1-x \leq e^x \frac{x^2}{2}\).

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