Appliquer le théorème des accroissements finis ne va pas être suffisant. En effet, soit $f(x) = e^x-1-x$ . Alors il existe $c \in ]0,x[$ tel que $f(x)-f(0)=f'(c)(x-0)$ . Soit $f(x)=(e^c-1)x$ . Soit maintenant $g(x) = e^x-1$ alors, par le théorème des accroissements finis sur $[0,c]$ il existe $d \in ]0,c[$ tel que $g(c)-g(0)=g'(d)(c-0)$ , soit $e^c-1=e^dc$ . Donc $e^x-1-x = f(x) = (e^c-1)x = e^dcx$ . Comme $d \leq c \leq x$ , alors $e^x-1-x \leq e^xx^2$ .

Cela donne une inégalité, mais il manque un facteur $1/2$ . Nous allons obtenir l’inégalité par application du théorème de Rolle. Soit maintenant $f(t) = e^t-1-t-k\frac{t^2}{2}$ . Nous avons $f(0)=0$ , $x>0$ étant fixé, nous choisisons $k$ tel que $f(x)=0$ , (un tel $k$ existe car $e^x-1-x >0$ et $x^2>0$ ). Comme $f(0)=0=f(x)$ alors par Rolle il existe $c \in ]0,x[$ tel que $f'(c)=0$ . Mais $f'(t) = e^t-t-kt$ , donc $f'(0)=0$ . Maintenant $f'(0)=0=f'(c)$ donc il existe (par Rolle toujours !) $d \in ]0,c[$ tel que $f''(d)=0$ . Or $f''(t) = e^t-k$ , donc $f''(d)=0$ donne $k = e^d$ . Ainsi $f(x)=0$ devient $e^x-1-x = e^d \frac{x^2}{2}$ . Comme $d\leq x$ alors $e^x-1-x \leq e^x \frac{x^2}{2}$ .

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