Soit $(E,f)$ et $(E,f')'$ deux espaces symplectiques non-singuliers de dimension $4$ . Soit $d\subset E$ et $d'=vect(x')\subset E'$ deux droites et $f$ une application linéaire bijective de $d$ sur $d'$ . On écrit $d=vect(x)$ et $d'=vect(x')$ où $x'=f(x)$ .

Notons que comme $d$ et $d'$ sont de dimension $1$ donc isotropes, $f$ est une isométrie (pour les formes bilinéaires induites). Puisque $f$ est non dégénérée, on choisit un vecteur $z$ (non colinéaire à $x$ ) tel que $f(x,z)$ est non nul donc inversible dans $k$ . On définit $y$ sous la forme $y=\alpha x+ f(x,z)^{-1}z$ . Alors, $(x,y)$ est une paire symplectique. L’orthogonal de $vect(x,y)$ (muni de la forme induite) est un plan non-singulier puisque $vect(x,y)$ est non-singulier. Par la construction précédente, on y trouve une paire symplectique $(X,Y)$ . Le même raisonnement permet de trouver une base $(x',y',X',Y')$ de $E'$ telle que $(x',y')$ et $(X',Y')$ soient deux paires symplectiques orthogonales de $E'$ . L’application $f$ définie par $x\mapsto x'$ , $y\mapsto y'$ , $X\mapsto X'$ et $Y\mapsto Y'$ est une isométrie de $E$ sur $E'$ qui prolonge $f$ .

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