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Montrer que si un sous-espace d’un espace non-singulier $(E,f)$ est totalement isotrope, il est de dimension inférieure à $\dim E/2$.

Déterminer des vecteurs isotropes et un sous-espace totalement isotrope maximal pour les formes non dégénérées suivantes (données par leur forme quadratique). Dans chaque cas, on donnera l’indice, c’est à dire la dimension des sous-espaces totalement isotropes maximaux.

$k=\Rr$ : $q=x^2+y^2, x^2-y^2, x^2+y^2-z^2, x^2+y^2+z^2-t^2, x^2+y^2-z^2-t^2$.

$k=\Cc$ : $q= x^2+y^2, x^2+y^2+z^2$.