Soient $a, b>0$ , et $f$ et $g$ les fonctions définies sur $\mathbb{R}^n$ par $f(x) = e^{-\frac{a |x|^2}{2}}$ et $g(x) = e^{-\frac{b |x|^2}{2}}$ . On a $\begin{aligned} f*g(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)\,g(y)\,dy = \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\left(\frac{a|x-y|^2 + b|y|^2}{2}\right)}\, dy \end{aligned}$ Or $\begin{aligned} a|x-y|^2 + b|y|^2 &=& \sum_{i=1}^n a x_i^2 + (a + b) y_i^2 -2a x_i y_i\\ & = & \sum_{i=1}^n a x_i^2 + (a + b)\left(y_i - \frac{a}{a+b} x_i \right)^2 - (a+b) \left(\frac{a x_i}{a+b} \right)^2\\ & = & \sum_{i=1}^n \left(a - \frac{a^2}{a+b}\right) x_i^2 + (a + b)\left(y_i - \frac{a}{a+b} x_i \right)^2\\ & = & \frac{ab}{a + b}|x|^2 + (a+b)\left|y-\frac{a}{a+b}x\right|^2. \end{aligned}$ Ainsi $\begin{aligned} f*g(x) & = & e^{-\frac{ab}{a + b}\frac{|x|^2}{2}}\int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{(a+b)}{2}\left|y-\frac{a}{a+b}x\right|^2}\,dy = e^{-\frac{ab}{a + b}\frac{|x|^2}{2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{-\frac{(a + b)}{2} |z|^2}\,dz \end{aligned}$ car la mesure de Lebesgue est invariante par translation. En utilisant $\int_{\mathbb{R}} e^{-t^2} \,dt = \sqrt{\pi}$ , on obtient alors : $f*g(x) = \left(\frac{2\pi}{a + b}\right)^{\frac{n}{2}} e^{-\frac{ab}{a + b}\frac{|x|^2}{2}}.$

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