Pour $p = + \infty$ , c’est clair. Supposons que $p = 1$ et posons $F(x, y) = f(x-y)\,g(y)$ . Pour presque tout $y\in\mathbb{R}^n$ , on a : $\int_{\mathbb{R}^n} |F(x, y)|\,dx = |g(y)| \int_{\mathbb{R}^n}|f(x- y)|\,dx = |g(y)| \cdot\|f\|_1,$ et $\int_{\mathbb{R}^n} dy \int_{\mathbb{R}^n}|F(x, y)|\,dx = \|f\|_1\,\|g\|_1.$ D’après le théorème de Tonelli, $F\in L^{1}\left(\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\right)$ . D’après le théorème de Fubini, on a $\int_{\mathbb{R}^n} |F(x, y)|\,dy <+\infty \quad\quad\text{pour presque tout }~x\in\mathbb{R}^n,$ et $\int_{\mathbb{R}^n} dx \int_{\mathbb{R}^n}|F(x, y)|\,dy \leq\|f\|_1\,\|g\|_1.$ Ainsi, $\|f*g\|_{1} = \int_{\mathbb{R}^n} \,dx |f*g(x)| =\int_{\mathbb{R}^n} \,dx \left|\int_{\mathbb{R}^{n}} F(x, y)\,dy\right| \leq\|f\|_1\,\|g\|_1.$ Supposons que $1< p<+\infty$ . Utilisons le cas précédent, en faisant jouer ici à $g^p$ le rôle alors joué par $g$ . Alors pour presque tout $x\in\mathbb{R}^n$ fixé, la fonction $y \mapsto |f(x-y)| |g(y)|^p$ est intégrable sur $\mathbb{R}^n$ , i.e. la fonction $y \mapsto |f(x-y)|^{\frac{1}{p}} |g(y)|$ appartient à $L^p(\mathbb{R}^n)$ . Soit $p'$ tel que $\frac{1}{p} + \frac{1}{p'} = 1$ . La fonction $y\mapsto |f(x-y)|^{\frac{1}{p'}}$ appartient à $L^{p'}(\mathbb{R}^n)$ car $f\in L^1(\mathbb{R}^n)$ et la mesure de Lebesgue est invariante par translation. D’après l’inégalité de Hölder, $|f(x-y)| \,|g(y)| = |f(x-y)|^{\frac{1}{p}} \,|g(y)|\cdot|f(x-y)|^{\frac{1}{p'}}\in L^1(\mathbb{R}^n)$ et $\int_{\mathbb{R}^n} |f(x-y)| \,|g(y)| \leq \left( \int_{\mathbb{R}^n} |f(x-y)| \,|g(y)|^p\right)^{\frac{1}{p}}\cdot\|f\|_1^{\frac{1}{p'}},$ ainsi $|(f*g)(x)|^{p} \leq (|f|*|g|^p)(x)\cdot\|f\|_1^{\frac{p}{p'}}.$ D’après le cas précédent, on voit que $f*g\in L^p(\mathbb{R}^n) \quad \text{et}\quad \|f*g\|_p^{p} \leq \|f\|_1\|g\|_{p}^{p}\cdot\|f\|_1^{\frac{p}{p'}},$ c’est-à-dire $\|f*g\|_p \leq \|f\|_1\cdot\|g\|_p.$

exo7 5959