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Soient \(f\in L^1(\mathbb{R}^n)\) et \(g\in L^p(\mathbb{R}^n)\) avec \(1\leq p\leq +\infty\), où \(\mathbb{R}^n\) est muni de la mesure de Lebesgue. Montrer que, pour presque tout \(x\in \mathbb{R}^n\), la fonction \(y\mapsto f(x-y)\, g(y)\) est intégrable sur \(\mathbb{R}^n\) et que le produit de convolution de \(f\) et \(g\) défini par \[f*g(x) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x-y) \,g(y)\,dy\] vérifie \(f*g(x) = g*f(x)\) et \[\|f*g\|_{p} \leq \|f\|_{1}\,\|g\|_{p}.\]