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Montrer que la fonction \((x, y) \mapsto e^{-y} \sin 2xy\) est intégrable pour la mesure de Lebesgue sur \([0, 1]\times (0, +\infty)\) ; en déduire la valeur de \[\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{y} (\sin y)^2 e^{-y}\,dy.\]
Montrer que la fonction \((x, y) \mapsto e^{-y} \sin 2xy\) est intégrable pour la mesure de Lebesgue sur \([0, 1]\times (0, +\infty)\) ; en déduire la valeur de \[\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{y} (\sin y)^2 e^{-y}\,dy.\]