Soient \(f, g\in L^1(\mu)\) où \(\mu\) est la mesure de Lebesgue sur \(\mathbb{R}^n\). On note \(\hat{f}\) la transformée de Fourier définie par \[\hat{f}(y) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\,e^{-2\pi i (y, x)} \,dx,\] où \((\cdot, \cdot)\) désigne le produit scalaire de \(\mathbb{R}^n.\) Montrer que
1
\(\quad \int_{\mathbb{R}^n} f(x)\hat{g}(x)\,dx = \int_{\mathbb{R}^n} \hat{f}(x) g(x)\,dx.\)
2
\(\quad \widehat{f*g} = \hat{f}\,\hat{g}.\)