On a $\begin{align*}\int_{-1}^1\left(\int_{-1}^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dx\right) dy=&\int_{-1}^1\left(\left.- \frac{x}{(x^2+y^2)}\right|_{-1}^1\right) dy \\=&\left.-\int_{-1}^1 \frac{2}{(1+y^2)} dy =-2 \arctan y \right|_{-1}^1=-\pi. \end{align*}$ $\begin{align*}\int_{-1}^1\left(\int_{-1}^1 \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}dy\right) dx=&\int_{-1}^1\left(\left. \frac{y}{(x^2+y^2)}\right|_{-1}^1\right) dx \\=&\left.\int_{-1}^1 \frac{2}{(x^2+1)} dx =2 \arctan x \right|_{-1}^1=\pi. \end{align*}$ Il n’y a pas de contradiction avec le théorème de Fubini car la fonction $f$ n’appartient pas à $\mathcal{L}^1([-1,1]\times[-1,1])$ . En effet, soit $S_\varepsilon=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2| \varepsilon\leq x^2+y^2\leq 1\}$ . On a $\begin{align*} \int_{[-1,1]\times[-1,1]}|f| d\mu &\geq \int_{S_\varepsilon} |f| d\mu \\ &= \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=\varepsilon}^1\frac{|\cos 2\theta|}{r}dr d\theta \\ &= 4\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{r=\varepsilon}^1 \frac{|\cos 2\theta|}{r} dr d\theta \\ &= -4 \log \varepsilon\rightarrow \infty \end{align*}$ lorsque $\varepsilon\rightarrow 0,$ et donc $f\notin \mathcal{L}^1([-1,1]\times[-1,1]).$

exo7 5957