Soit \(f:{\Rr^2}\to{\Rr^2}\) définie par \(f(x,y)=(x^2-y,x^2+y^2)\) et \(g=f\circ f\).
1
Montrer que \(f\) et \(g\) sont de classe \(C^1\).
2
Calculer en tout point \((x,y)\in{\Rr^2}\) la matrice jacobienne de \(f\) notée \(Df{(x,y)}\); calculer la matrice jacobienne de \(g\) au point \((0,0)\) notée \(Dg{(0,0)}\).
3
Montrer qu’il existe \(\rho>0\) tel que pour tout \((x,y)\in \overline{B_\rho((0,0))}\) (la boule fermée de centre \((0,0)\) et de rayon \(\rho\)) on a \(||Dg{(x,y)}||\leq {\frac 1 2}\).
4
Montrer que la fonction \(g\) admet un unique point fixe dans \(\overline{B_\rho((0,0))}\).