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Montrer que $f$ et $g$ sont de classe $C^1$.

Calculer en tout point $(x,y)\in{\Rr^2}$ la matrice jacobienne de $f$ notée $Df{(x,y)}$; calculer la matrice jacobienne de $g$ au point $(0,0)$ notée $Dg{(0,0)}$.

Montrer qu’il existe $\rho>0$ tel que pour tout $(x,y)\in \overline{B_\rho((0,0))}$ (la boule fermée de centre $(0,0)$ et de rayon $\rho$) on a $||Dg{(x,y)}||\leq {\frac 1 2}$.

Montrer que la fonction $g$ admet un unique point fixe dans $\overline{B_\rho((0,0))}$.