On considère l’application \(F:\Rr ^2 \to \Rr ^2\) définie par \[F(x,y) = (x^2+y^2, y^2)\; .\] Soit \(\Omega = \{p\in \Rr^2 \, ; \; \lim _{k\rightarrow \infty } F^k (p) = (0,0)\}\).
1
Vérifier que \(p\in \Omega\) si et seulement si \(F(p)\in \Omega\).
2
Montrer qu’il existe \(\delta >0\) tel que \(\| | D F(p) \| | <\frac{1}{2}\) si \(\|p\|<\delta\). En déduire que \((0,0)\) est dans l’intérieur de \(\Omega\) puis que \(\Omega\) est un ouvert.
3
Utiliser l’homogénéité de \(F\) pour montrer que \(\Omega\) est connexe.