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On considère l’application $F:\Rr ^2 \to \Rr ^2$ définie par $F(x,y) = (x^2+y^2, y^2)\; .$ Soit $\Omega = \{p\in \Rr^2 \, ; \; \lim _{k\rightarrow \infty } F^k (p) = (0,0)\}$ .

Vérifier que $p\in \Omega$ si et seulement si $F(p)\in \Omega$ .

Montrer qu’il existe $\delta >0$ tel que $\| | D F(p) \| | <\frac{1}{2}$ si $\|p\|<\delta$ . En déduire que $(0,0)$ est dans l’intérieur de $\Omega$ puis que $\Omega$ est un ouvert.