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Dans un espace normé \(({\cal F} , N)\), on considére l’application \(x \mapsto N(x)\). Rappeler que, lorsque cette application \(N\) est différentiable en \(x\in {\cal F}\), alors \[DN(x) \cdot (h) = \lim _{t\rightarrow 0} \frac{1}{t}\left( N (x +th) -N (x) \right)\; .\] En déduire que \(N\) n’est pas différentiable en \(0\in {\cal F}\). Supposons \(N\) différentiable en \(x\in {\cal F}\), alors justifier que \(N\) l’est aussi en \(\lambda x\), où \(\lambda >0\), et que \(DN(x) =DN(\lambda x )\). En considérant la dérivée en \(\lambda =1\) de l’application \(\lambda \mapsto N (\lambda x)\), montrer que \(DN(x) \cdot (x)=N(x)\) et en déduire \(\|| DN(x) \|| =1\).