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Dans un espace normé $({\cal F} , N)$, on considére l’application $x \mapsto N(x)$. Rappeler que, lorsque cette application $N$ est différentiable en $x\in {\cal F}$, alors $$DN(x) \cdot (h) = \lim _{t\rightarrow 0} \frac{1}{t}\left( N (x +th) -N (x) \right)\; .$$ En déduire que $N$ n’est pas différentiable en $0\in {\cal F}$. Supposons $N$ différentiable en $x\in {\cal F}$, alors justifier que $N$ l’est aussi en $\lambda x$, où $\lambda >0$, et que $DN(x) =DN(\lambda x )$. En considérant la dérivée en $\lambda =1$ de l’application $\lambda \mapsto N (\lambda x)$, montrer que $DN(x) \cdot (x)=N(x)$ et en déduire $\|| DN(x) \|| =1$.