On considère l’application \(F:{\Rr^2}\to{\Rr^2}\) définie par \(F(x,y)=(\cos x-\sin y,\ \sin x-\cos y)\); on note \(F^{(k)}\) l’application \(F\) composée \(k\)-fois
1
Montrer que \(||DF(x,y)||\leq \sqrt2\) pour tout \((x,y)\).
2
En déduire que la suite récurrente définie par \(x_0,y_0\) et pour \(n\geq 1\) \[x_{n+1}= {\frac 1 2}(\cos x_n-\sin y_n),\quad y_{n+1}= {\frac 1 2}(\sin x_n-\cos y_n)\] converge pour tout \((x_0,y_0)\). Donnez l’équation que vérifie sa limite ?