L3 Calcul différentiel Différentiabilité, calcul de différentielles 2 questions

exo7 2521

On considère l’application F:R2→R2F:{\Rr^2}\to{\Rr^2} définie par F(x,y)=(cos⁡x−sin⁡y, sin⁡x−cos⁡y)F(x,y)=(\cos x-\sin y,\ \sin x-\cos y); on note F(k)F^{(k)} l’application FF composée kk-fois

1

Montrer que ∣∣DF(x,y)∣∣≤2||DF(x,y)||\leq \sqrt2 pour tout (x,y)(x,y).

2

En déduire que la suite récurrente définie par x0,y0x_0,y_0 et pour n≥1n\geq 1 xn+1=12(cos⁡xn−sin⁡yn),yn+1=12(sin⁡xn−cos⁡yn)x_{n+1}= {\frac 1 2}(\cos x_n-\sin y_n),\quad y_{n+1}= {\frac 1 2}(\sin x_n-\cos y_n) converge pour tout (x0,y0)(x_0,y_0). Donnez l’équation que vérifie sa limite ?

Exercice ntOd

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