En tout point $(x_0,y_0)$ avec $x_0 \neq y_0$ , $f$ est continue et même de classe $C^2$ car composée (projections sur (0x) et (Oy)), différence et quotient de fonctions de classe $C^2$ dont le dénominateur ne s’annule pas. Dans ces points, la différentielle de $f$ est donnée par la matrice jacobienne: $Df(x_0,y_0)=\left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) &, & \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \end{array} \right)=$ $\left( \begin{array}{ccc} \frac{g'(x_0)(x_0-y_0)-(g(x_0)-g(y_0))}{(x_0-y_0)^2} &, & \frac{-g'(y_0)(x_0-y_0)+(g(x_0)-g(y_0))}{(x_0-y_0)^2} \end{array} \right)$ qui est bien de classe $C^1$ ( $g$ étant de classe $C^2$ , $g'$ est de classe $C^1$ ). Montrons que $F$ est continue aux points de la forme $(a,a)$ . Le DL de $g$ à l’ordre $2$ entre $x$ et $y$ donne $g(y)=g(x)+(y-x)g'(c_{x,y}) \mbox{ avec }c \in [x,y]$ d’où $\lim_{(x,y) \rightarrow (a,a) }\frac{g(x)-g(y)}{x-y}= \lim_{(x,y) \rightarrow (a,a) }g'(c_{x,y})=g'(a)=F(a,a)$ car comme $(x,y)$ tend vers $(a,a)$ , $x$ et $y$ tendent tous les deux vers $a$ et donc $c_{x,y}$ aussi (et $g'$ est continue). Pour montrer que $F$ est $C^1$ (sachant que $F$ est continue), il suffit de montrer que la différentielle de $F$ se prolonge par continuité sur $\mathbb{R}^2$ . Le DL de $g$ à l’ordre $2$ entre $x_0$ et $y_0$ est: $g(x_0)=g(y_0)+(x_0-y_0)g'(y_0)+\frac{(x_0-y_0)^2}{2}g^{(2)}(c_1) \mbox{ avec } c_1 \in [x_0,y_0].$ $g(y_0)=g(x_0)+(y_0-x_0)g'(x_0)+\frac{(y_0-x_0)^2}{2}g^{(2)}(c_2) \mbox{ avec } c_2 \in [x_0,y_0].$ On a donc $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{(x_0-y_0)^2g^{(2)}(c_2)}{2(x_0-y_0)^2}=\frac{g^{(2)}(c_2)}{2}$ et $\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{(x_0-y_0)^2g^{(2)}(c_1)}{2(x_0-y_0)^2}=\frac{g^{(2)}(c_1)}{2}$ La fonction $g$ étant de classe $C^2$ , on a $\lim_{(x_0,y_0) \rightarrow (a,a)} Df(x_0,y_0)= \left( \begin{array}{ccc} g^{(2)}(a)/2 &, & g^{(2)}(a)/2 \end{array} \right)$ et donc $Df$ se prolonge par continuité sur tout $\mathbb{R}^2$ . $F$ est donc bien de classe $C^1$ .

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