En tout point \((x_0,y_0)\) avec \(x_0 \neq y_0\), \(f\) est continue et même de classe \(C^2\) car composée (projections sur (0x) et (Oy)), différence et quotient de fonctions de classe \(C^2\) dont le dénominateur ne s’annule pas. Dans ces points, la différentielle de \(f\) est donnée par la matrice jacobienne: \[Df(x_0,y_0)=\left( \begin{array}{ccc} \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) &, & \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \end{array} \right)=\] \[\left( \begin{array}{ccc} \frac{g'(x_0)(x_0-y_0)-(g(x_0)-g(y_0))}{(x_0-y_0)^2} &, & \frac{-g'(y_0)(x_0-y_0)+(g(x_0)-g(y_0))}{(x_0-y_0)^2} \end{array} \right)\] qui est bien de classe \(C^1\) (\(g\) étant de classe \(C^2\), \(g'\) est de classe \(C^1\)). Montrons que \(F\) est continue aux points de la forme \((a,a)\). Le DL de \(g\) à l’ordre \(2\) entre \(x\) et \(y\) donne \(g(y)=g(x)+(y-x)g'(c_{x,y}) \mbox{ avec }c \in [x,y]\) d’où \[\lim_{(x,y) \rightarrow (a,a) }\frac{g(x)-g(y)}{x-y}= \lim_{(x,y) \rightarrow (a,a) }g'(c_{x,y})=g'(a)=F(a,a)\] car comme \((x,y)\) tend vers \((a,a)\), \(x\) et \(y\) tendent tous les deux vers \(a\) et donc \(c_{x,y}\) aussi (et \(g'\) est continue). Pour montrer que \(F\) est \(C^1\) (sachant que \(F\) est continue), il suffit de montrer que la différentielle de \(F\) se prolonge par continuité sur \(\mathbb{R}^2\). Le DL de \(g\) à l’ordre \(2\) entre \(x_0\) et \(y_0\) est: \[g(x_0)=g(y_0)+(x_0-y_0)g'(y_0)+\frac{(x_0-y_0)^2}{2}g^{(2)}(c_1) \mbox{ avec } c_1 \in [x_0,y_0].\] \[g(y_0)=g(x_0)+(y_0-x_0)g'(x_0)+\frac{(y_0-x_0)^2}{2}g^{(2)}(c_2) \mbox{ avec } c_2 \in [x_0,y_0].\] On a donc \[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{(x_0-y_0)^2g^{(2)}(c_2)}{2(x_0-y_0)^2}=\frac{g^{(2)}(c_2)}{2}\] et \[\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\frac{(x_0-y_0)^2g^{(2)}(c_1)}{2(x_0-y_0)^2}=\frac{g^{(2)}(c_1)}{2}\] La fonction \(g\) étant de classe \(C^2\), on a \[\lim_{(x_0,y_0) \rightarrow (a,a)} Df(x_0,y_0)= \left( \begin{array}{ccc} g^{(2)}(a)/2 &, & g^{(2)}(a)/2 \end{array} \right)\] et donc \(Df\) se prolonge par continuité sur tout \(\mathbb{R}^2\). \(F\) est donc bien de classe \(C^1\).

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