exo7 2518

Soit $f$ une application réelle continue et dérivable sur $]a,b[$ telle que $f'(x)$ ait une limite quand $x\overset{<}{\to}b$; alors $f$ se prolonge en une fonction continue et dérivable à gauche au point $b$.

Soit $f$ une application continue et dérivable sur un intervalle $I\subset\Rr$, et de dérivée croissante; montrer que $f$ est convexe sur $I$ i.e. $f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y)$ pour tous $x<y$ de $I$ et $t\in[0,1]$. (Poser $z=(1-t)x+ty$ et appliquer les AF à $[x,z]$ puis $[z,y]$.)