1
Soit \(f\) une application réelle continue et dérivable sur \(]a,b[\) telle que \(f'(x)\) ait une limite quand \(x\buildrel{<}\over{\to}b\); alors \(f\) se prolonge en une fonction continue et dérivable à gauche au point \(b\).
2
Soit \(f\) une application continue et dérivable sur un intervalle \(I\subset\Rr\), et de dérivée croissante; montrer que \(f\) est convexe sur \(I\) i.e. \(f((1-t)x+ty)\leq (1-t)f(x)+tf(y)\) pour tous \(x<y\) de \(I\) et \(t\in[0,1]\). (Poser \(z=(1-t)x+ty\) et appliquer les AF à \([x,z]\) puis \([z,y]\).)