L3 Calcul différentiel Différentiabilité, calcul de différentielles 3 questions

exo7 2524

On considère l’application F:R2→R2F:{\Rr^2}\to{\Rr^2} définie par F(x,y)=(x2+y2,y2)F(x,y)=(x^2+y^2,y^2); on note F(k)F^{(k)} l’application FF composée kk-fois avec elle-même. On considère Ω={(x,y)∈R2 / lim⁡k→∞F(k)(x,y)=(0,0)}\Omega=\{(x,y)\in {\Rr^2}\ /\ \lim_{k\to\infty}F^{(k)}(x,y)=(0,0)\}.

1

Vérifier que (x,y)∈Ω⟺F(x,y)∈Ω(x,y)\in\Omega\Longleftrightarrow F(x,y)\in\Omega.

2

Montrer qu’il existe ε>0\varepsilon>0 tel que ∣∣(x,y)∣∣<ε⟹∣∣F′(x,y)∣∣≤12||(x,y)||<\varepsilon\Longrightarrow||F'(x,y)||\leq{\frac 1 2}; en déduire que 00 est intérieur à Ω\Omega puis que Ω\Omega est ouvert.

3

Montrer que Ω\Omega est connexe.

Exercice pIFh

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