On considère l’application \(F:{\Rr^2}\to{\Rr^2}\) définie par \(F(x,y)=(x^2+y^2,y^2)\); on note \(F^{(k)}\) l’application \(F\) composée \(k\)-fois avec elle-même. On considère \(\Omega=\{(x,y)\in {\Rr^2}\ /\ \lim_{k\to\infty}F^{(k)}(x,y)=(0,0)\}\).
1
Vérifier que \((x,y)\in\Omega\Longleftrightarrow F(x,y)\in\Omega\).
2
Montrer qu’il existe \(\varepsilon>0\) tel que \(||(x,y)||<\varepsilon\Longrightarrow||F'(x,y)||\leq{\frac 1 2}\); en déduire que \(0\) est intérieur à \(\Omega\) puis que \(\Omega\) est ouvert.
3
Montrer que \(\Omega\) est connexe.