exo7 2503

Soit $f$ une application $f$ de $E$ dans $F$ espaces vectoriels normés de dimension finie.

On rappelle les implications suivantes : si $x_0\in E$, “$f$ de classe $C^1$ en $x_0$” $\Rightarrow$ “$f$ différentiable en $x_0$” $\Rightarrow$ “$f$ continue en $x_0$”. On sait de même que “$f$ différentiable en $x_0$” $\Rightarrow$ “$f$ admet des dérivées partielles en $x_0$” montrer que les réciproques sont fausses en général en s’inspirant de :

$$f(x)= \left \{\begin{array}{ccc} & x^2\sin{\frac 1 x}+y^2\sin{\frac 1 y} & {\rm si}\ \ xy\neq0\\ & x^2\sin{\frac 1 1 x} &{\rm si}\ \ y=0\\ & y^2\sin{\frac 1 y} &{\rm si}\ \ x=0\\ &0 &{\rm en}\ \ (0,0)\\ \end{array}\right.$$

ou de $$f(x)= \left \{\begin{array}{ccc} & {\frac{xy^2}{x^2+y^2}}& {\rm si}\ \ (x,y)\neq(0,0)\\ &0 &{\rm si}\ \ (x,y)=(0,0)\\ \end{array}\right.$$