Soit \(f\) une application \(f\) de \(E\) dans \(F\) espaces vectoriels normés de dimension finie.
On rappelle les implications suivantes : si \(x_0\in E\), “\(f\) de classe \(C^1\) en \(x_0\)” \(\Rightarrow\) “\(f\) différentiable en \(x_0\)” \(\Rightarrow\) “\(f\) continue en \(x_0\)”. On sait de même que “\(f\) différentiable en \(x_0\)” \(\Rightarrow\) “\(f\) admet des dérivées partielles en \(x_0\)” montrer que les réciproques sont fausses en général en s’inspirant de :
\[f(x)= \left \{\begin{array}{ccc} & x^2\sin{\frac 1 x}+y^2\sin{\frac 1 y} & {\rm si}\ \ xy\neq0\\ & x^2\sin{\frac 1 1 x} &{\rm si}\ \ y=0\\ & y^2\sin{\frac 1 y} &{\rm si}\ \ x=0\\ &0 &{\rm en}\ \ (0,0)\\ \end{array}\right.\]
ou de \[f(x)= \left \{\begin{array}{ccc} & {\frac{xy^2}{x^2+y^2}}& {\rm si}\ \ (x,y)\neq(0,0)\\ &0 &{\rm si}\ \ (x,y)=(0,0)\\ \end{array}\right.\]