Soit \(E\) et \(F\) deux evn sur \(\Cc\). Une application de \(E\) dans \(F\) \(\Cc\)-linéaire est \(\Rr\)-linéaire, mais la réciproque est fausse.
Soit \(\varphi:E\to F\) une application \(\Rr\)-linéaire. Montrer que \(\varphi\) est \(\Cc\)-linéaire si et seulement si \(\varphi(ix)=i\varphi(x)\) pour tout \(x\in E\). En déduire les applications de \(\Rr^2\) dans \(\Rr^2\) qui sont \(\Cc\)-linéaires.
Soit \(U\) un ouvert de \(E\) et \(f:U\to F\). On suppose \(f\) \(\Rr\)-différentiable en \(a\in U\). Il est clair que \(f\) est \(\Cc\)-différentiable en \(a\) si et seulement si \(f'(a)\) est \(\Cc\)-linéaire.
Si \(f:{\Cc}\to\Cc\) s’écrit \(f(z)=u(z)+iv(z)=f(x+iy)\) avec \(u\) et \(v\) réelles, qu’on identifie à \(f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))\), traduire à l’aide de a) “\(f\) est \(\Cc\)-différentiable en \(a=\alpha+i\beta\)”. En quels points les applications de \(\Cc\) dans \(\Cc\) sont-elles \(\Cc\)-différentiables : \(f_1(z)=e^x\); \(f_2(z)=|z|^2\); \(f_3(z)=e^{x-iy}\) ?
(extrait de septembre 99) Soit \(U\) un ouvert de \({\Cc}\) et soit \(f:U\to\Cc\) \(\Cc\)-différentiable en \(a=\alpha+i\beta\in U\), telle que \(f(a)\not=0\). Montrer que si \(g=|f|\) est \(\Cc\)-différentiable en \(a=\alpha+i\beta\in U\), alors \(f'(a)=0\).