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Soit $\varphi:E\to F$ une application $\Rr$-linéaire. Montrer que $\varphi$ est $\Cc$-linéaire si et seulement si $\varphi(ix)=i\varphi(x)$ pour tout $x\in E$. En déduire les applications de $\Rr^2$ dans $\Rr^2$ qui sont $\Cc$-linéaires.

Soit $U$ un ouvert de $E$ et $f:U\to F$. On suppose $f$ $\Rr$-différentiable en $a\in U$. Il est clair que $f$ est $\Cc$-différentiable en $a$ si et seulement si $f'(a)$ est $\Cc$-linéaire.

Si $f:{\Cc}\to\Cc$ s’écrit $f(z)=u(z)+iv(z)=f(x+iy)$ avec $u$ et $v$ réelles, qu’on identifie à $f(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$, traduire à l’aide de a) “$f$ est $\Cc$-différentiable en $a=\alpha+i\beta$”. En quels points les applications de $\Cc$ dans $\Cc$ sont-elles $\Cc$-différentiables : $f_1(z)=e^x$; $f_2(z)=|z|^2$; $f_3(z)=e^{x-iy}$ ?

(extrait de septembre 99) Soit $U$ un ouvert de ${\Cc}$ et soit $f:U\to\Cc$ $\Cc$-différentiable en $a=\alpha+i\beta\in U$, telle que $f(a)\not=0$. Montrer que si $g=|f|$ est $\Cc$-différentiable en $a=\alpha+i\beta\in U$, alors $f'(a)=0$.