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Montrer que, pour tous $a,b \in \Omega$, $$\| f(b) -f(a)- Df(a) (b-a)\| \leq \| b -a \| \sup _{c\in [a,b]} \| Df(c) -Df(a)\| \; .$$

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions de classe $C^1$ telle que $f_n \to f$ et $Df_n \to Df$ uniformément sur tout compact de $\Omega$. On va montrer: pour tout compact $K$ de $\Omega$ il existe $n_0$ tel que $f_n$ soit injective sur $K$ pour $n\geq n_0$.

En raisonnant par l’absurde, montrer qu’il existerait $K$ compact et, pour une infinité d’entiers $n$, des points $a_n, b_n \in K$ tels que $f_n(a_n) = f_n (b_n)$.

Quitte à extraire, montrer qu’alors $b_n - a_n \to 0$.

Utiliser (1.) pour en déduire une contradiction.