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Soit $f$ une application de $E$ dans $F$ espaces vectoriels normés et supposons $f$ différentiable en $a$; montrer que pour tout vecteur $u\in E^*$, la dérivée de $f$ en $a$ dans la direction $u$ existe , i.e. $\lim_{h\to 0} {\frac 1 h}\big(f(a+hu)-f(a)\big)$ et l’exprimer à l’aide de $f'(a)$.

On considère $f:{\Rr^2}\to{\Rr}$ définie par $f(0,0)=0$ et, si $(x,y)\neq(0,0)$, $f(x,y)={\frac{x^3y}{x^4+y^2}}$. Montrer que $f$ est dérivable en $(0,0)$ dans toutes les directions, mais que $f$ n’est pas différentiable en $(0,0)$.