L’application $f$ est continue (car différentiable) et tend vers l’infini quand $(x,y)$ tend vers l’infini. Ainsi $\forall A >0, \exists B >0, ||(x,y)|| \geq B \Rightarrow ||f(x,y)||\geq A.$ Soit $m=\inf_{(x,y)\in \mathbb{R}^2} g(x,y)$ , pour $A=m+1$ , il existe $B >0$ tel que $||(x,y)|| \geq B \Rightarrow g(x,y)=||f(x,y)||^2 \geq A^2\geq (m+1)^2 \geq m+1.$ On a donc $m=\inf_{(x,y)\in \mathbb{R}^2} g(x,y)=\inf_{||(x,y)|| \leq B} g(x,y).$ Or la boule $\overline B(0,B)$ étant compacte et $g$ continue, l’inf y est ateint en un point $X_0=(x_0,y_0) \in B(0,B) \subset \mathbb{R}^2$ . Comme $X_0$ est un minimum global de $g$ , c’est aussi un minimum de la restriction de $g$ sur toute droite passant par $X_0$ . Comme la dérivé d’une fonction réelle en un minimum est nulle, toute les dérivées partielles de $g$ sont nulles et donc $Dg(X_0)=0$ et par conséquent la matrice jacobienne de $g$ est nulle. On a donc $\frac{\partial g}{\partial x}(x_0,y_0)=2<\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0),f(x)-a>=0 \mbox{ et } \frac{\partial g}{\partial y}(x_0,y_0)=2<\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0),f(x)-a>=0.$ Comme $Df$ est injective, ses colonnes forment une base de $\mathbb{R}^2$ . Par conséquent les projections de $f(x)-a$ sur la base $(\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0);\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0))$ sont nulles et donc $f(x_0,y_0)-a=0 \Leftrightarrow f(x_0,y_0)=a$ et donc $a$ admet bien un antécédent. Ceci étant valable pour tout $a\in \mathbb{R}^2$ , on a montré que $f$ est surjective.

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