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Soit $E$ un espace de Banach, $U$ un ouvert de $E$ et $f$ une application différentiable de $U$ dans $\Rr$ telle que l’on ait $||f'(x)||\leq k |f(x)|,\hskip2mm \forall x\in U$. Montrer que pour $x$ assez voisin de $a\in U$, $$|f(x)|\leq e^{k||x-a||}\ |f(a)|.$$

Indication : considérer l’application $t\in[0,1]\to f(a+t(x-a))$).