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Soit \(E\) un espace de Banach, \(U\) un ouvert de \(E\) et \(f\) une application différentiable de \(U\) dans \(\Rr\) telle que l’on ait \(||f'(x)||\leq k |f(x)|,\hskip2mm \forall x\in U\). Montrer que pour \(x\) assez voisin de \(a\in U\), \[|f(x)|\leq e^{k||x-a||}\ |f(a)|.\]
Indication : considérer l’application \(t\in[0,1]\to f(a+t(x-a))\)).