1
Soit \(X= {\cal C} ([0,1])\) muni de la norme uniforme et soit \(f\) une application de \({\cal C}^1 (\Rr , \Rr )\). On note \(F\) l’application \(\varphi \mapsto f\circ \varphi\) de \(X\) dans \(X\). Montrer que pour chaque \(\varphi \in X\), \(DF(\varphi )\) est l’opérateur linéaire de multiplication par \(f'\circ \varphi\) dans \(X\): \[DF(\varphi )\cdot ( h ) = h \, f'\circ \varphi \; ,\] et que \(DF\) est continue.