exo7 2512

Soit $X= {\cal C} ([0,1])$ muni de la norme uniforme et soit $f$ une application de ${\cal C}^1 (\Rr , \Rr )$. On note $F$ l’application $\varphi \mapsto f\circ \varphi$ de $X$ dans $X$. Montrer que pour chaque $\varphi \in X$, $DF(\varphi )$ est l’opérateur linéaire de multiplication par $f'\circ \varphi$ dans $X$: $$DF(\varphi )\cdot ( h ) = h \, f'\circ \varphi \; ,$$ et que $DF$ est continue.