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Soit ${\cal E}$ un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire $(x,y) \mapsto \langle x,y \rangle$ et de la norme associée $\|x\| = \langle x,x \rangle ^\frac{1}{2}$ . Soit $u$ un endomorphisme continu de ${\cal E}$ que l’on suppose symétrique, i.e. $\langle u(x),y\rangle =\langle x,u(y)\rangle \quad \text{pour tout} \;\; x,y\in {\cal E} \; .$

Montrer que l’application $x\in {\cal E} \mapsto \langle u(x),x\rangle$ est différentiable sur ${\cal E}$ et calculer sa différentielle. L’application $x\mapsto \|x\|^2$ est donc différentiable.

On définit une application $\varphi : {\cal E} \setminus \{0\} \to \Rr$ en posant $\varphi (x) = \frac{\langle u(x),x\rangle }{\langle x,x\rangle }$ . Établir qu’il s’agit d’une application différentiable. Calculer ensuite $D\varphi$ . Montrer que, pour un élément non nul $a\in {\cal E}$ , on a $D\varphi (a) =0$ si et seulement si $a$ est vecteur propre de $u$ .

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