Soit \({\cal E}\) un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire \((x,y) \mapsto \langle x,y \rangle\) et de la norme associée \(\|x\| = \langle x,x \rangle ^\frac{1}{2}\). Soit \(u\) un endomorphisme continu de \({\cal E}\) que l’on suppose symétrique, i.e. \[\langle u(x),y\rangle =\langle x,u(y)\rangle \quad \text{pour tout} \;\; x,y\in {\cal E} \; .\]
Montrer que l’application \(x\in {\cal E} \mapsto \langle u(x),x\rangle\) est différentiable sur \({\cal E}\) et calculer sa différentielle. L’application \(x\mapsto \|x\|^2\) est donc différentiable.
On définit une application \(\varphi : {\cal E} \setminus \{0\} \to \Rr\) en posant \(\varphi (x) = \frac{\langle u(x),x\rangle }{\langle x,x\rangle }\). Établir qu’il s’agit d’une application différentiable. Calculer ensuite \(D\varphi\). Montrer que, pour un élément non nul \(a\in {\cal E}\), on a \(D\varphi (a) =0\) si et seulement si \(a\) est vecteur propre de \(u\).