Calculez la norme des opérateurs suivants:
1
Le shift sur \(l^\infty\) défini par \(S(x)_{n+1}=x_n, S(x)_0=0\) (sur \(l^\infty\) on définit \(||(x_n)||_\infty=\sup_{n \in \mathbb{N}}|x_n|)\).
2
\(X={\mathcal C}([0,1])\) avec la norme sup et l’opérateur \(Tf(x)=f(x)g(x)\) où \(g \in X\).
3
\(X={\mathcal C}([0,1])\) muni de la norme sup et \(u(f)=\int_0^1f(x)g(x)dx\) où \(g \in X\) est une fonction qui s’annule qu’en \(x=1/2\).
4
\(X=l^2\) et \(u(x)=\sum a_nx_n\) où \((a_n)\) est dans \(X\).
5
\(X\) l’espace des suites convergentes muni de la norme sup et \(u: X \rightarrow \mathbb{R}\) l’application \(u(x)=\lim_{j \rightarrow \infty} x_j\).