Soit, dans \({\Rr^n}\), \(F\) un sous-espace fermé, et soit \(f:{\Rr^n}\to\Rr\) définie par \(f(x)=d(x,F)\). On rappelle que \(f\) est \(1\)-lipschitzienne, et que pour chaque \(x\) il existe \(y\in F\) tel que \(f(x)=d(x,y)\).
1
On suppose que \(f\) est différentiable en \(x\notin F\). Montrer que \(||Df(x)||_{{\cal L}(\Rr^n,\Rr)}\leq 1\).
2
On considère la fonction \(\varphi : t\in[0,1]\to f((1-t)x+ty)\); en calculant \(\varphi'(0)\) de deux façons, montrer que \(Df(x).{\frac{x-y}{||x-y||}}=1\) et \(||Df(x)||_{{\cal L}(\Rr^n,\Rr)}= 1\).
3
En déduire que \(y\) est unique.