L3 Calcul différentiel Différentiabilité, calcul de différentielles Prépa MP · MPI 3 questions

exo7 2508

Soit, dans Rn{\Rr^n}, FF un sous-espace fermé, et soit f:Rn→Rf:{\Rr^n}\to\Rr définie par f(x)=d(x,F)f(x)=d(x,F). On rappelle que ff est 11-lipschitzienne, et que pour chaque xx il existe y∈Fy\in F tel que f(x)=d(x,y)f(x)=d(x,y).

1

On suppose que ff est différentiable en x∉Fx\notin F. Montrer que ∣∣Df(x)∣∣L(Rn,R)≤1||Df(x)||_{{\cal L}(\Rr^n,\Rr)}\leq 1.

2

On considère la fonction φ:t∈[0,1]→f((1−t)x+ty)\varphi : t\in[0,1]\to f((1-t)x+ty); en calculant φ′(0)\varphi'(0) de deux façons, montrer que Df(x).x−y∣∣x−y∣∣=1Df(x).{\frac{x-y}{||x-y||}}=1 et ∣∣Df(x)∣∣L(Rn,R)=1||Df(x)||_{{\cal L}(\Rr^n,\Rr)}= 1.

3

En déduire que yy est unique.

Exercice iG1S

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