On montre par récurrence que $f(nx)=nx$ si $n\in \mathbb{N}$ . Montrer $f(-x)=-f(x)$ pour arriver à $f(nx)=nf(x)$ si $n \in \mathbb{Z}$ puis $f(\frac{p}{q}x)=\frac{p}{q}f(x)$ $p,q \in \mathbb{Z}$ . Ainsi $f$ est linéaire sur $\mathbb{Q}$ . Il reste à montrer qu’elle l’est sur $\mathbb{R}$ . Soit $x \in E$ et $\lambda \in \mathbb{R}$ , il reste à montrer que $f(\lambda x)=\lambda f(x)$ . Prenons $\{\lambda_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ tel que $\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda_n=\lambda$ . On a alors $f(\lambda_x)=f(\lambda_n x + (\lambda-\lambda_n)x)=\lambda_n f(x)+f((\lambda-\lambda_n)x).$ Soit $c_n \in \mathbb{\mathbb{Q}}$ tel que $||(\lambda-\lambda_n)x||_E \leq c_n \leq 2 ||(\lambda-\lambda_n)x||_E.$ Alors $f((\lambda-\lambda_n)x)=f(c_n\frac{\lambda-\lambda_n}{c_n}x)=c_nf(\frac{\lambda-\lambda_n}{c_n}x)$ et $||\frac{\lambda-\lambda_n}{c_n}x|| \leq 1.$ L’application $f$ étant borné sur la boulle unité par une constante $M > 0$ , on a $||f((\lambda-\lambda_n)x)||\leq c_nM$ et donc $||f((\lambda-\lambda_n)x)||\leq c_n M\leq 2M||(\lambda-\lambda_n)x||_E$ et donc $\lim_{n\rightarrow \infty}f((\lambda-\lambda_n)x)=0$ , en remarquant qu’on a aussi $\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda_nf(x)=\lambda f(x)$ on obtient $f(\lambda x)=\lim_{n \rightarrow \infty}[\lambda_n f(x)+f((\lambda-\lambda_n)x)]=\lambda f(x).$

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