On montre par récurrence que \(f(nx)=nx\) si \(n\in \mathbb{N}\). Montrer \(f(-x)=-f(x)\) pour arriver à \(f(nx)=nf(x)\) si \(n \in \mathbb{Z}\) puis \(f(\frac{p}{q}x)=\frac{p}{q}f(x)\) \(p,q \in \mathbb{Z}\). Ainsi \(f\) est linéaire sur \(\mathbb{Q}\). Il reste à montrer qu’elle l’est sur \(\mathbb{R}\). Soit \(x \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\), il reste à montrer que \(f(\lambda x)=\lambda f(x)\). Prenons \(\{\lambda_n\}_{n \in \mathbb{N}}\) tel que \(\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda_n=\lambda\). On a alors \[f(\lambda_x)=f(\lambda_n x + (\lambda-\lambda_n)x)=\lambda_n f(x)+f((\lambda-\lambda_n)x).\] Soit \(c_n \in \mathbb{\mathbb{Q}}\) tel que \[||(\lambda-\lambda_n)x||_E \leq c_n \leq 2 ||(\lambda-\lambda_n)x||_E.\] Alors \[f((\lambda-\lambda_n)x)=f(c_n\frac{\lambda-\lambda_n}{c_n}x)=c_nf(\frac{\lambda-\lambda_n}{c_n}x)\] et \[||\frac{\lambda-\lambda_n}{c_n}x|| \leq 1.\] L’application \(f\) étant borné sur la boulle unité par une constante \(M > 0\), on a \[||f((\lambda-\lambda_n)x)||\leq c_nM\] et donc \[||f((\lambda-\lambda_n)x)||\leq c_n M\leq 2M||(\lambda-\lambda_n)x||_E\] et donc \[\lim_{n\rightarrow \infty}f((\lambda-\lambda_n)x)=0\], en remarquant qu’on a aussi \[\lim_{n\rightarrow \infty}\lambda_nf(x)=\lambda f(x)\] on obtient \[f(\lambda x)=\lim_{n \rightarrow \infty}[\lambda_n f(x)+f((\lambda-\lambda_n)x)]=\lambda f(x).\]

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