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Soient $E,F$ des espaces de Banach, $\Omega$ un ouvert connexe de $E$ et $f_n: \Omega \to F$ une suite d’applications différentiables. On suppose que cette suite vérifie :

[(i)] Il existe $x_0\in \Omega$ tel que $(f_n (x_0))$ converge dans $F$ .

[(ii)] La suite $(Df_n)$ converge uniformément sur toute boule fermée $B_F (a,r) \subset \Omega$ .