Soit \(U\) un ouvert de \(\Rr^n\) et \(f: U \to \Rr^p\) une application dérivable.
1
Énoncer l’inégalité des accroissements finis. (Pour cette question on peut supposer que \(U\) est convexe.)
2
Démontrer, à l’aide de 1., la proposition suivante :
Si pour tout \(x\in U\) la dérivée de \(f\) en \(x\) est nulle : \(Df(x) = 0\), alors pour tout \(x\) dans \(U\) il existe un voisinage \(V\) de \(x\) dans \(U\) (par exemple une boule centrée en \(x\)) tel que \(f\) est constante sur \(V\).
3
À l’aide de 2., démontrer que si en plus \(U\) est connexe, alors \(f\) est constante sur \(U\).