exo7 6832

Énoncer l’inégalité des accroissements finis. (Pour cette question on peut supposer que $U$ est convexe.)

Démontrer, à l’aide de 1., la proposition suivante :

Si pour tout $x\in U$ la dérivée de $f$ en $x$ est nulle : $Df(x) = 0$, alors pour tout $x$ dans $U$ il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $U$ (par exemple une boule centrée en $x$) tel que $f$ est constante sur $V$.

À l’aide de 2., démontrer que si en plus $U$ est connexe, alors $f$ est constante sur $U$.