Soient \(||.||_1\) et \(||.||_2\) deux normes sur \(\mathbb{R}^2\) et \(M=\left ( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right )\) une matrice de \({\cal M}_{n,n}(\mathbb{R} \mbox{ ou } \mathbb{C})\). On définit la norme de \(M\) (ou de l’application linéaire associée) de la manière suivante: \[||M||=\sup_{X \in S_1(0,1)}||M.X||_2\] où \(S_1(0,1)\) est la sphère unité pour la norme \(||.||_1\). Dans chacun des cas suivant, calculez la norme de \(M\).
1
\(||(x,y)||_1=||(x,y)||_2=sup(|x|,|y|).\)
2
\(||(x,y)||_1=||(x,y)||_2=\sqrt{x^2+y^2}.\)
3
\(||(x,y)||_1=\sqrt{x^2+y^2}\) et \(||(x,y)||_2=sup(|x|,|y|).\)